Brethland's Blog

JK 也能听懂的理论物理(二)

25-10-2020

这是该系列的第二篇,主要关于确定性,本体论和定域性。关于相对论和作用量请查看JK 也能听懂的理论物理(一)

测量

It doesn’t matter how beautiful your theory is, it doesn’t matter how smart you are. If it doesn’t agree with experiment, it’s wrong. In that simple statement is the key to science.
— Richard Feynman

再美妙的理论也需要实验的佐证才能够被科学所接受,这是一个基本原则。本节的目的便是梳理物理学中的实验科学发展进程,以及它是如何和理论产生关联的。

在前牛顿时代,乃至牛顿时代,实验的观测对象都是直接的宏观实体,因此实验的测量也是直观的,我们的实验仪器辅助肉眼,完成了一个人与机械交互的过程,这便是物理实验。

电动力学给我们带来了许多不能直接观察的对象,譬如你要测量场在时空某一点的性质,你所做的可不能是仅仅直接观察场,你需要设计一场实验,测出受场影响的粒子性质,以此来计算出场的性质。一个坚实可靠的理论,也许描述的对象并不是可见的,但它一定会提供某种机制与可见对象产生关系。因此,我们可以将一个设计良好的实验当作黑盒,我们需要的性质会由黑盒的指针呈现出来。

这样的割裂在引入量子力学后愈发地严重了起来,根据波动力学的结论,微观的粒子遵循薛定谔(Schrödinger)方程运动,波恩(Born)定则表明了,波函数为该系统物理状态(比如能量,动量)的概率密度。一个离散的量子态是多个可能取值的线性组合,根据叠加原理,我们有(省略狄拉克(Dirac)记法):

\[\psi = \sum_{i} c_i\psi_i\]

看起来仍然还好,这条公设将不可见的量子态与测量结果通过概率联系了起来,实验也证实了波恩定则的正确性,但是,从中隐含的一个结论,坍缩假设(Collapse Postulate),却带来了物理学的危机。波恩定则暗示了,一旦我们测量某个量子态得到结果后,其取值也就被确定了,这个过程被称为坍缩,由此,我们通过观察保证了多次测量的一致性。

现在让我们设想这样一个黑盒子,它的指针准确地指示了一个粒子的动量,比如 \(p_1, p_2, p_3\),相对应的指针值为 \(y_1, y_2, y_3\),开始的指针指向 \(y_0\) 处。第一次测量得到的结果是 \(p_2\),指针指向了 \(y_2\) 并使得粒子坍缩了。如此应该假定在此后任意时刻的第二次测量都是 \(p_2\),那么,遵循宏观牛顿定律的指针也能够直接指向 \(y_2\) 吗?我们知道,这是不符合实际的。

这个思想实验展现出的分歧是,在黑盒的某处,世界被分割为了两个现实,一个是会坍缩的微观现实,另一个是我们熟知的宏观现实,这两者的界限在哪里?它们是怎么联系的?真的能割裂开吗?更严重的是,所谓使得粒子坍缩的观察也是含糊的,人类存在前的所有波函数都等着坍缩吗?怎么区别观察者和实验对象?早期的量子物理学就建立在了如此模糊的基础上。

尝试用完全量子化手段解决测量问题被证明是反事实的,本节的一个著名例子便是1935年薛定谔(Schrödinger)提出的问题,如流行文化所述,这只可怜的猫在他与爱因斯坦的通信里反复去世。爱因斯坦是深信着物理的确定性(determinism)的,这是从元物理而非物理学角度得来的肯定,为了能重新恢复物理理论的确定性,他需要另一项有力的武器:局域性(locality)。

我们已经知道了量子力学在深层次上的非确定性,为了解决这样的矛盾,1926年,玻恩(Bohn)就提出了这样的解释:波函数描述的可能不是完整的物理状态,而是我们对物理状态的知识,而坍缩也就意味着我们知识的更新。同样的,在爱因斯坦和薛定谔的通讯中,两人似乎也指向了一个可能的解释:现有的物理理论缺失了一个或多个重要的变量,加入变量后的量子力学——比如说薛定谔方程,将会拥有确定性。这样的猜想被称为隐变量(hidden variables)假设。

然而,一个对隐变量著名的反驳是冯·诺伊曼(Von Neumann)在1932年对量子物理做数学公理化时证明的定理,也即:任何包含隐变量的物理理论都无法和量子力学在实验上保持一致。但是该证明有很大的局限性,由于诺伊曼限定在了对交换算子的讨论和论证,致使贝尔(Bell)在随后批评该证明是“并不完全错误但却是愚蠢的”。事实上,1952年,玻姆(Bohm)就发表了一个独立的,带有隐变量的确定性理论。

EPR 佯谬

It is wrong to think that the task of physics is to find out how Nature is. Physics concerns what we can say about Nature.
— Niels Bohr

爱因斯坦在随后继续致力于批评量子力学的非实在性,在1935年,他和波多尔斯基(Podolsky)、罗森(Rosen)共同发表论文提出了量子力学和局域实在假设的冲突,借此表明量子力学的不完备。简单起见,我们阐述由玻姆重论述的佯谬(EPRB)。

根据标准模型,粒子具有一种性质称为自旋(spin),其取值是离散的,例如(正)电子的自旋取值为 \(\pm \frac{1}{2}\)。假设一个粒子在 \(x\) 轴上的自旋为 \(s\),则我们在与 \(x\) 轴夹角为 \(\theta\) 的方向上——根据量子力学——测得其自旋为 \(+s\) 的概率为 \(\frac{1 + cos\theta}{2}\),也即,\(+s\) 的期望为 \(scos\theta\)。并且哥本哈根诠释认为,该粒子在未经过测量前自旋是非实在的(non-determined)。

现在,我们有一台仪器同时发射一对纠缠的正负电子,它们的自旋态叠加为0,也即(同样省略狄拉克记法):

\[\phi =\frac{1}{\sqrt{2}}(s \otimes (-s) - (-s) \otimes s)\]

我们在对称的方向(角度为 \(\pi\))安排了足够远(信息无法及时传播)的两个观察者 A 与 B。观察者 A 经过测量,得知电子的自旋为 \(s\),根据坍缩假设,叠加态坍缩为一种状态,这时,观察者 B 无需测量正电子,观察者 A 即可得知正电子的自旋为 \(-s\),这显然是实在的,同时也是超距(non-local)的,因此与哥本哈根诠释矛盾。

爱因斯坦接下来推导:为了不破坏定域性,也就是观察者 A 的观察必须不影响 B,一定有一个决定电子自旋的隐变量在发射的时候被确定了。 1952年,玻姆通过引入一个粒子自有的场(隐变量),发展了德布罗意(de Broglie)在1927年提出的导航波理论,解决了量子力学的非实在性,但是,其代价是这个场的传播是超距的。

读者一定不会对 EPR 佯谬的思考方式感到陌生,贝尔就用一个生动的例子来评价 EPR 佯谬:如果 Bertlmann 教授喜欢穿不同颜色的袜子,那么人们看到他一只脚的袜子是粉色时,也一定可以立即知道另一只脚的袜子一定不是粉色的,EPR 相关性无非就是这样的日常相关性。

对于爱因斯坦来说,不可接受的实际上不是这两只袜子之间的关系,而是这种相关联鬼魅般的超距(Spooky at Distance),哥本哈根解释没能回答这个忧虑。爱因斯坦想做的是使用 EPR 关联作为一个基础来阐述量子力学的不完美而非错误,只是玻尔并没有能理解这一点。

贝尔定律

量子力学是超距的吗?这个问题其实在很大程度上没有回答的意义。让我们先严谨地给出局域性的定义:物理实在(objects)在时空中的运动和作用,总是不超过光速地传播并作用到另一物体。这里的关键在于,我们要讨论量子力学的超距性,必须先明白量子力学中的物理实在究竟是什么,它们之间的作用究竟是什么?

这其实就是物理学的本体论(Ontology)问题。我们讨论牛顿力学的超距性,是因为经典力学中有确切的物理实在——物体,确切的作用——重力,并且牛顿假定了重力的作用是即时的。量子力学在这个定义下无法回答是否超距的问题,是因为它们是模糊的。

如此我们需要给出贝尔对定域性的描述。贝尔认为,两件足够远发生的事件,或者说事实,让我们设为 \(A\) 和 \(B\),在给出对区域 \(\Sigma\) 的物理性质描述 \(C_{\Sigma}\) 后,必须满足以下概率公式:

\[P[A\ |\ C_{\Sigma}] = P[A\ |\ C_{\Sigma},\ B]\]

也即,两件事件概率不相干。

如果我们具体地代入 EPRB 佯谬,设 \(A\) 事件为“电子的自旋为正”,\(B\) 事件为“正电子的自旋为正”,而 \(C_{\Sigma}\),如果量子力学是完备的,那就可以设为电子处的完整物理描述,即电子的波函数。易得上式左边为 \(50\%\),而右边则为 \(0\)。 但按照量子力学,这里并不存在所谓的电子的波函数,因为这一对粒子是纠缠的,它们的波函数是一个整体而无法分离!

若修正贝尔的定义,将 \(C_{\Sigma}\) 推广为 \(\mathcal{C}\),也即,全域(Universe)的物理描述,似乎会更为妥当,这时的 \(\mathcal{C}\) 实际也就是两个粒子的波函数 \(\Psi\),我们依然能得出上面的结果,也就是,经典量子力学并不满足定域性。

贝尔接下来做的,是通过一个美妙的不等式展现出:没有符合贝尔局域性定义的隐变量理论能和量子力学在实验上保持一致。

有许多种方法可以推出贝尔不等式,我们在这里采用一种与前述 EPR 相关的。

定义 \(P(\hat{a}, \hat{b})\) 为在正负电子的两个方向测定自旋的乘积的期望,为了方便起见,我们将自旋正规化为 \(+1\) 和 \(-1\)。 显然有:

\[P(\hat{a}, \hat{b}) = P_{\hat{a}\hat{b}}(++) + P_{\hat{a}\hat{b}}(—) - P_{\hat{a}\hat{b}}(+-) - P_{\hat{a}\hat{b}}(-+)\]

我们已经知道(很容易从第二节推出),在 \(\hat{a}\) 和 \(\hat{b}\) 方向夹角为 \(\theta\) 时,同自旋方向的概率为 \(\frac{1}{2}sin^{2}(\frac{\theta}{2})\),异方向的概率为 \(\frac{1}{2}cos^{2}(\frac{\theta}{2})\)。代入可知:

\[P(\hat{a},\hat{b}) = -cos(\theta)\]

接下来让我们考虑一个带有局域隐变量 \(\lambda\) 的理论,在 EPR 实验中我们必须保证纠缠的正负电子该隐变量相同,以此来保证它们的关联是局域的。设电子在 \(\hat{a}\) 方向的测量结果为 \(A(\hat{a}, \lambda)\),同理我们有 \(B(\hat{b}, \lambda)\)。为了使隐变量理论满足统计力学(以及贝尔对局域性的概率定义),该隐变量一定会有一个在时空中分布的概率密度函数 \(\rho(\lambda)\)。因为这对粒子的纠缠性,它们在同方向的自旋一定相反,自然地,我们有:

\[P(\hat{a}, \hat{b}) = \int\rho(\lambda)A(\hat{a}, \lambda)B(\hat{b}, \lambda)d\lambda = -\int\rho(\lambda)A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda)d\lambda\]

又因为 \(A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda) = 1\),因此:

\[|P(\hat{a}, \hat{b}) - P(\hat{a}, \hat{c})|\\ = | -\int\rho(\lambda)(A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda) - A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{c}, \lambda))d\lambda|\\ = |\int\rho(\lambda)(A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda) - A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{c}, \lambda))d\lambda|\\ = |\int\rho(\lambda)((1 - A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{c}, \lambda))A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda))d\lambda|\]

因为 \(A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda) \in [-1, 1]\),易知:

\[|P(\hat{a}, \hat{b}) - P(\hat{a}, \hat{c})|\\ \le \int\rho(\lambda)(1 - A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{c}, \lambda))d\lambda \\ = 1 + P(\hat{b}, \hat{c})\]

此即贝尔不等式。

容易获知量子力学并不满足贝尔不等式,取 \(\hat{a}\) 与 \(\hat{c}\) 夹角为 \(\frac{2\pi}{3}\),而 \(\hat{b}\) 在其角平分线上时,该不等式不成立。事实上,至今所有的量子统计力学实验都说明了贝尔不等式的不成立,也即是,满足贝尔不等式的局域性理论无法与量子力学取得一致。

可能性

很多人将贝尔的理论看作是对冯诺伊曼的证明的优化,认为它完全否定了隐变量理论,从而证实了量子力学的正确性。这除了是对玻姆所做工作的忽视以外,也意味着对 EPR 关联性的忽视。

我们需要将贝尔的工作看做是 EPR 的后续,EPR 证明了,要保持时空的局域性,我们必须引入局域的确定性隐变量理论来和实验保持一致(回忆第一节引言费曼所说),而贝尔证明了局域的确定性隐变量理论永远无法和实验保持一致,按照简单的逻辑学,我们可以立即推出:时空的局域性是错误的!尽管贝尔定理的关键在贝尔对局域性的表述正确与否(我们将会在之后探讨其他可能性),但当我们重新审视 EPR 与贝尔理论的关联时,我们似乎不得不将现代物理学的两座基石之一看作是错误的。

贝尔自称为爱因斯坦的追随者,因为他在1964年想从局域性的第一原则来推得量子力学。理性的真实否定了这一点,他在其后的讲演和论文中甚至暗示了,超距作用——如庞加莱和洛伦兹所假设的那种绝对参考系,甚至是以太,可能真的存在着。与此同时,困扰爱因斯坦的量子纠缠,成功突破思想的牢笼,在应用中展现可能的价值。去年发表在 Nature 的最新实验物理测量结果甚至表明,亚原子范畴的量子隧道效应(quantum tunneling)是超越光速的。

当然我们可以说,量子隧道,如同德布罗意波是无法携带信息有效结构的,但宇宙学突飞猛进的发展,又可能揭示了早期宇宙留下的虫洞具有超距旅行的潜力。

究竟真实是怎样的呢?自然会告诉我们这一点,又或是,告诉我们究竟哪些真实可以言说。

我们从问题的解决跳跃到新的问题,接下来两篇我会从另一方面阐述粒子物理的核心理论:标准模型和它带来的新问题,敬请期待。

参考资料

  1. Ghirardi, Giancarlo and Angelo Bassi, Collapse Theories, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edward N. Zalta (ed.)
  2. J.S. Bell, Against ‘Measurement’, reprinted in Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, 2nd edn. (Cambridge University Press, Cambridge, 2004)
  3. J.N. Shutt, Determinism, locality, and meta-time, 2008
  4. T. Norsen, Foundations of Quantum Mechanics, (Springer, 2017)
  5. Many entries on Wikipedia.